如何计算红球先取完的机率?

2020-07-02

排列组合教学过程中,有一个值得讨论的议题:「如何计算红球先取完的机率?」
先从两种不同颜色球的讨论开始:

例1:

袋中有三个红球与两个白球,今从袋中每次取一球,取后不放回,请问红球比白球先取完的机率?

解法:

因为红球先取完,所以,最后一球必定是白球,因此,
\( P(\text{红球比白球先取完})= \displaystyle\frac{{\frac{{4!}}{{3! \times 1!}}}}{{\frac{{5!}}{{3! \times 2!}}}} = \frac{2}{5} = \frac{2}{{3 + 2}} = \frac{W}{{R + W}}\),
其中 \(R\) 代表红球的个数,\(W\) 代表白球的个数。

接着,透过排容原理(Inclusion–exclusion principle)或取捨原理,

如下图一与图二所示,可以将问题延伸。

如何计算红球先取完的机率?

图一代表两个集合的排容原理,即 \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\)

例2:

袋中有 \(R\) 个红球与 \(W\) 个白球与 \(B\) 个黑球,今从袋中每次取一球,取后不放回,请问红球比白球或黑球先取完的机率?

解法:

\(P(\text{红球比白球或黑球先取完})\)
\(=P(\text{红球比白球先取完})+P(\text{红球比黑球先取完})-P(\text{红球比白球且黑球先取完})\)
\(=\displaystyle\frac{W}{{R + W}} + \frac{B}{{R + B}} – \frac{{W + B}}{{R + W + B}}\)

再把问题扩充,讨论袋中有四种颜色的球,利用三个集合的排容原理。

如何计算红球先取完的机率?

图二代表三个集合的排容原理,即 \(P\left( {A \cup B \cup C} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) + P\left( C \right) – P\left( {A \cap B} \right) – P\left( {B \cap C} \right) – P\left( {A \cap C} \right) + P\left( {A \cap B \cap C} \right)\)

例3:

袋中有 \(R\) 个红球与 \(W\) 个白球与 \(B\) 个黑球与 \(Y\) 个黄球,今从袋中每次取一球,取后不放回,请问红球比白球或黑球或黄球先取完的机率?

解法:

\(P(\text{红球比白球或黑球或黄球先取完})\)
\(=P(\text{红球比白球先取完})+P(\text{红球比黑球先取完})+P(\text{红球比黄球先取完})\)
\(-P(\text{红球比白球且黑球先取完})-P(\text{红球比黑球且黄球先取完})-P(\text{红球比黄球且白球先取完})\)
\(+P(\text{红球比白球且黑球且黄球先取完})\)
\(\displaystyle=\frac{W}{{R + W}} + \frac{B}{{R + B}} + \frac{Y}{{R + Y}} – \frac{{W + B}}{{R + W + B}} – \frac{{B + Y}}{{R + B + Y}} – \frac{{Y + W}}{{R + Y + W}} + \frac{{W + B + Y}}{{R + W + B + Y}}\)

为了寻找规律,我们将例1、例2、例3的解答重新誊写。

\(P(\text{红球比白球先取完})=\displaystyle\frac{R}{{R + W}} = \frac{{R + W}}{{R + W}} – \frac{W}{{R + W}} = 1 – \frac{R}{{R + W}}\)

\(P(\text{红球比白球或黑球先取完})\)

\(\displaystyle=\frac{W}{{R + W}} + \frac{B}{{R + B}} – \frac{{W + B}}{{R + W + B}} \)

\(\displaystyle= \frac{{R + W}}{{R + W}} – \frac{R}{{R + W}}+ \frac{{R + B}}{{R + B}} – \frac{R}{{R + B}} – \frac{{R + W + B}}{{R + W + B}} + \frac{R}{{R + W + B}}\)

\(\displaystyle= 1 – \frac{R}{{R + W}} – \frac{R}{{R + B}} + \frac{R}{{R + W + B}}\)

\(P(\text{红球比白球或黑球或黄球先取完})\)

\(\displaystyle = \frac{W}{{R + W}} + \frac{B}{{R + B}} + \frac{Y}{{R + Y}} – \frac{{W + B}}{{R + W + B}} – \frac{{B + Y}}{{R + B + Y}} – \frac{{Y + W}}{{R + Y + W}} + \frac{{W + B + Y}}{{R + W + B + Y}}\)

\(\displaystyle = 1 – \frac{R}{{R + W}} – \frac{R}{{R + B}} – \frac{R}{{R + Y}} + \frac{R}{{R + W + B}} + \frac{R}{{R + B + Y}} + \frac{R}{{R + Y + W}} – \frac{R}{{R + W + B + Y}}\)

因此,若袋中有 \(R\) 个红球与 \(K_i\) 颜色球有 \(A_i\) 个,其中 \(i=1,2,3,\cdots,n\),今从袋中每次取一球,取后不放回,请问红球比 \(K_1\) 色球或 \(K_2\) 色球 \(\cdots\) 或 \(K_n\) 色球先取完的机率为何?

解法:

\(P(\text{红球比} K_1 \text{球或} K_2 \text{球} \cdots \text{或} K_n \text{球先取完})=1+\mathop \sum \limits_{i = 1}^n {( – 1)^i}\left( {\sum\limits_{|S| = i} {\frac{R}{{R + \sum\limits_{k \in S} {{A_k}} }}} } \right)\)

,其中大括号内的 \(\Sigma\) 总和要取遍 \(1,2,\cdots,n\) 中所有的  \(n\) 元子集 \(S\)。

这个公式虽然简洁,但是不易导出。读者可以自行揣摩。


参考文献

李政丰(2004),〈组合计数的方法两则〉,《数学传播》第二十八卷第二期,页43-58。http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion%E2%80%93exclusion_principle

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